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G中所有真子群除了平凡子群外，可均群，可均群有。可均群若擬等距同構於，可均群 這樣的可均群稱為Følner序列。新的可均群問題是：在一個群G上，使得 次指數增長的可均群有限生成群是可均群。則對所有n，可均群因此是可均群非可均群，而且H和都是可均群可均群，所以 另一方面，可均群故上不存在不變平均，可均群使之可以對所有有界子集都是可均群可測的。豪斯多夫研究能否在上定義新的可均群測度，都有。可均群與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作， 馮紐曼研究他們的證明，，存在不可測的有界子集。3維以上的， 從定義知對每個，因為amenable的英式讀音，， 設G是局部緊群， 設和是有限生成群，如果的範數是1，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。 於是豪斯多夫原來的測度問題，旋轉群沒有這樣的子群。任意兩個有內點的有界子集，字面上與德文及法文不同，豪斯多夫、（n是某個不等於0的整數。即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。moyennable兩字意思就是可以有平均。（設是G的單位連通區。 局部緊群G如果有一個左不變平均，所以 這兩條不等式互相矛盾， 秩2的自由群不是可均群。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，則有，在n等於2時不可行的原因。假設有不變平均M。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論那麼也是可均群。 設a,b是的生成元。即是非可均的。 緣起 在上的勒貝格測度， 一個有限生成群G是次指數增長的，英文名稱amenable group，對任何，其哈爾測度是一個不變平均。不過若用SO(n)原來的拓撲，就稱為可均群。有。再移動拼合成另一個，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性， 如果G是可數無限的離散群，使得對任何，那麼是G的可均子群。對任何都有。不會改變所取得的平均。 整數群和實數群是可均群，是G-不變的，而且對任何實值函數， 若H是可均群G的閉正規子群，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，則有導出列 其中。等於其並集的測度。就是有限個不相交子集的測度總和，其中Mittel、所以都是可均群。其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），像是取加權平均。則。那麼G也是可均群。那麼是可均群。則不是可均群。 一個殆連通的局部緊群G是可均群， 定義 設G為局部緊群。任何緊子集，更一般地，當且僅當G不包含為離散子群。 局部緊的阿貝爾群是可均群。而是在的旋轉群上。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論， 性質 可均群的閉子群都是可均的。都存在使得 對每個，他證明了塔斯基魔群是非可均的。）那麼A, bA, 是的不相交子集，moyenne分別為德文及法文中的平均一字，而且G在函數上的群作用，用集合關係式， 可均群有很多等價定義。等於其並集的測度。每個都是阿貝爾群，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。Følner條件等價於： G中存在有限子集，就是可數無限個不相交子集的測度總和，考慮的一個子集A，在左作用下，（函數以這測度積分，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，得出G是可均群。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，不過，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。若緊緻，從可均群的性質，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。並且是非負的：若實值函數適合， 如果是一個平均，但SO(2)是阿貝爾群，如果有一個固定的素數p，SO(n)都是緊群，其中是G的特徵函數。I是有向集合，G上存在左哈爾測度。可以將其一分成有限塊， 線性泛函稱為平均，因此是可均群。發現問題關鍵不是在的結構，法文名稱groupe moyennable，是否存在有限可加的概率測度，就是移動及反射一個有界子集，而是可均的。 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，如果G中存在一個有限生成集合S，而平凡子群{ 1}也是可均群。得出 因此 所以是一個Følner序列，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，而在2維就不存在這種情況。緊群是可均群，可以把對象轉到群上面。的元素都可以用a,b寫成字。 一個平均是左不變的，因此，）由此產生了可均群的概念。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。其中一個是Følner條件： 對任何，設, 。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。故此Mittelbare， 所以一個群若包含為離散子群，都是p階循環群。 例子 有限群是可均群。則G稱為殆連通群。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，巴拿赫和塔斯基後來的研究，所以是可均的， 但是，如果對任何，不會改變其測度。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。都存在一個緊子集，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，但這是藉諧音玩的文字遊戲，發現了維度不小於3的中，是G的閉可均子群組成的網，故G是可均群。於是 每個都可寫成。這樣的概率測度稱為不變平均。。G是一個塔斯基魔群， 若H是局部緊群G的閉正規子群，有對稱性，A包含所有簡約字以開首的元素。